VARIABLES Y PARÁMETROS. MODELOS, DINÁMICA Y PATRONES POBLACIONALES.

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Víctor Manuel Vázquez Manzanares

Grado en Ciencias Ambientales, Facultad de Ciencias, Universidad de Málaga

(thenvironmentalistjournal@gmail.com)

1. MÉTODO CIENTÍFICO.

El método científico consta básicamente de tres pasos: elaboración de hipótesis, contraste de predicciones y formulación de la teoría.

• La hipótesis es la formulación concreta de una conjetura a partir de indicios y observaciones.
• El contraste de predicciones consiste en la generación de nuevos casos posibles según la hipótesis y la comprobación de la existencia natural o artificial de estos casos.
• La formulación de la teoría se produce una vez asimilada en la hipótesis la capacidad de predicción perfeccionada y generalizada por el caso anterior.

2. LEYES, VARIABLES Y PARÁMETROS.

Un modelo científico está formado por variables que describen el estado del sistema y leyes que relacionan las variables entre sí. Las variables son entidades que toman diferentes valores. El número de variables tiene que ser >1 sino no hay sistema.

Cualquier objeto tiene propiedades que se pueden describir con variables: la temperatura, el número de individuos, la concentración de clorofila, la biomasa de carnívoros, el potencial redox, etc. Algunas variables son elementales o fundamentales, mientras que otras son combinaciones de aquéllas. Cada variable describe una dimensión. El número de variables tiene que ser suficiente para describir como funciona el sistema.

Otro elemento importante en los modelos matemáticos es el parámetro. Expresa la intensidad con la que se da una relación particular entre dos variables. Es el responsable de la consistencia dimensional y a menudo es susceptible de ser ajustado para mejorar la capacidad de predicción de la ley en que intervienen. Los parámetros son elementos del sistema que expresan la relación entre variables (son constantes).

Cuando los parámetros no son ajustables se llaman constantes. Las variables y parámetros que describen el sistema son los descriptores.

3. NATURALEZA DE LOS MODELOS.

Aunque todos los modelos en Ecología tienen el mismo fin predictivo, su origen y aspecto pueden ser muy distintos, dependiendo del tipo de premisas o axiomas de partida y el formato matemático en el que se dispongan.

         3.1. MODELOS DETERMINISTAS Y ESTOCÁSTICOS.

Un modelo se califica determinista cuando la relación entre las variables está determinada unívocamente por una relación matemática funcional, de manera que sólo hay un valor posible de la variable dependiente para cada combinación de las variables independientes.

Los modelos estocásticos incorporan el propio azar en las premisas y leyes con las que se construye el modelo, de forma que las predicciones no están sujetas siempre a la misma secuencia, sino que pueden darse multitud de estados posibles, si bien la medida de todos ellos coincide con el modelo determinista equivalente.

Ejemplo: Simulación estocástica del crecimiento logístico mediante el Método de Montecarlo.

El crecimiento de una población en un ambiente con recurso limitado se puede modelar mediante la ecuación logística que habitualmente se puede escribir en forma de ecuación determinista como:

$$\frac { dN }{ dt } =r·N-\frac { r }{ K } { N }^{ 2 }$$

A partir de esta ecuación se puede construir un modelo estocástico si consideramos que los nacimientos y muertes en la población son eventos independientes que ocurren con una cierta probabilidad. Podemos considerar que los nacimientos netos son proporcionales al producto r·N, mientras que las muertes causadas por la densodependencia lo son a (r/K)N². Entonces, definimos la probabilidad de que ocurra un nacimiento o una muerte con la siguiente regla.

$$P\left( N\longrightarrow N+1 \right) =\frac { r·N }{ r·N+\left( \frac { r }{ K } \right) { N }^{ 2 } }$$

$$P\left( N\longrightarrow N-1 \right) =\frac { \left( \frac { r }{ K } \right) { N }^{ 2 } }{ r·N+\left( \frac { r }{ K } \right) { N }^{ 2 } }$$

El tiempo que transcurre entre dos eventos consecutivos es precisamente el inverso del denominador (tasa de eventos en la población). El valor del tiempo también se puede seleccionar aleatoriamente si se considera que la probabilidad de que transcurra un determinado intervalo de tiempo disminuye exponencialmente.

El método de Montecarlo se puede interpretar como la selección de un evento al azar mediante el lanzamiento de un punto al azar (representado por la variable aleatoria X que puede tomar cualquier valor real entre 0 y 1) sobre un campo compuesto por áreas que representan la probabilidad de los sucesos posibles.

En el caso de la izquierda se producirá un nacimiento o una muerte dependiendo de si X cae a un lado u otro del límite calculado anteriormente (aquí se sortea una variable discreta).

En el caso de la derecha, el propio valor de X determina un valor de Z, el tiempo estocástico que transcurrirá entre dos eventos (aquí se sortea una variable continua).