INTERVALOS Y ENTORNOS EN R. ACOTACIÓN.

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Víctor Manuel Vázquez Manzanares

Grado en Ciencias Ambientales, Facultad de Ciencias, Universidad de Málaga

(thenvironmentalistjournal@gmail.com)

1. INTERVALOS EN R.

Hemos visto que el conjunto de los números reales contiene a los naturales, a los enteros, a los racionales y a los irracionales. Estos conjuntos de números, N, Z, Q e I, son subconjuntos de R.

El hecho de que R sea un conjunto totalmente ordenado nos permite definir otro tipo de subconjuntos: intervalos y entornos.

A. Intervalos.

Los intervalos son conjuntos formados por todos los números que están entre otros dos. Estos dos números se llaman extremos del intervalo.

B. Intervalos finitos.

Se llaman así porque ambos extremos son dos números reales. Son segmentos de la recta real.

Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, (no están incluidos en ese conjunto estos dos números). El intervalo abierto se designa poniendo ambos números entre paréntesis, separados por una coma (a,b).

$$\left( a,b \right) =\left\{ x\in R/a < x < b \right\}$$

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, ambos inclusive. El intervalo cerrado se designa poniendo ambos números entre corchetes, separados por una coma [a,b].

$$\left[ a,b \right] =\left\{ x\in R/a\le x\le b \right\}$$

Se llama intervalos semiabierto por la izquierda (o semicerrado por la derecha), de extremos a y b al conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, (no está incluido el número a pero sí el número b).

$$\left( a,b \right] =\left\{ x\in R/a < x \le b \right\}$$

Se llama intervalos semiabierto por la derecha (o semicerrado por la izquierda), de extremos a y b al conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre a y b, (no está incluido el número b pero sí el número a).

$$\left[ a,b \right) =\left\{ x\in R/a \le x < b \right\}$$

C. Intervalos infinitos.

Se llaman así porque uno de los dos extremos es:

$$\infty \left( +\infty \quad ó\quad -\infty \right)$$

Son semirrectas de la recta real.

Se llama intervalo infinito abierto por la izquierda, de extremo a al conjunto formado por todos los números reales mayores que a (no está incluido el número a).

$$\left( a,+\infty \right) =\left\{ x\in R/x>a \right\}$$

Se llama intervalo infinito cerrado por la derecha, de extremo b al conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que b (no está incluido el número b).

$$\left( -\infty ,b \right) =\left\{ x\in R/x< b \right\}$$

Se llama intervalo infinito cerrado por la izquierda, de extremo a al conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que a (no está incluido el número a).

$$\left( a,+\infty \right) =\left\{ x\in R/x\ge a \right\}$$

Se llama intervalo infinito cerrado por la derecha, de extremo b al conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que b (no está incluido el número b).

$$\left( -\infty ,b \right) =\left\{ x\in R/x\le b \right\}$$

Observaciones:

• El extremo izquierdo del intervalo nunca puede ser mayor que el derecho. En (a,b): $$a\le b$$
• Un intervalo abierto que tenga los mismos extremos es el conjunto vacío.$$\left( a,a \right) =\phi$$
• Un intervalo cerrado con los mismos extremos es el punto que tiene por extremos.$$\left[ a,a \right] =a$$
• El intervalo abierto cuyos extremos son -∞ y +∞ es todo R.$$\left( -\infty ,+\infty \right) =R$$

2. ENTORNOS EN R.

Son conjuntos de números reales que se definen por un punto, llamado centro del entorno, y por una medida, llamada radio. Son segmentos de recta cuyo punto central es el centro del entorno.

El entorno abierto de centro el punto c y de radio r es el intervalo (c-r,c+r), es decir, es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre c-r y c+r.

$$E\left( c,r \right) =\left( c-r,c+r \right) =\left\{x\in R/c-r < x < c+r \right\}$$

El entorno abierto lateral por la derecha de centro el punto c y de radio r es el intervalo (c,c+r), es decir, es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre c y c+r.

$${ E }^{ + }\left( c,r \right) =\left( c,c+r \right) =\left\{x\in R/c < x < c+r \right\}$$

El entorno abierto lateral por la izquierda de centro el punto c y de radio r es el intervalo (c,c+r), es decir, es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre c-r y c.

$${ E }^{ - }\left( c,r \right) =\left( c-r,c \right) =\left\{x\in R/c-r < x < c \right\}$$

El entorno abierto reducido de centro el punto c y de radio r es el intervalo (c-r,c+r) sin incluir el punto a,es decir, es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre c-r y c+r menor el punto c.

$${ E }^{ * }\left( c,r \right) =\left( c-r,c+r \right)-\left\{c\right\} =\left\{x\in R/c-r < x < c+r \right\}-\left\{c\right\}$$

Además de los anteriores, también se pueden definir esos mismos entornos, pero cerrados. Los cerrados se definen como los abiertos pero el signo < se convierte en ≤. Se simbolizan como:

$$\bar { E }$$